Příklady indukce. Metoda matematické indukce: příklady řešení

Byly založeny skutečné znalosti po celou dobustanovení pravidelnosti a důkazu jeho pravdivosti za určitých okolností. Pro takové dlouhé období existence logických úvah byla pravidla formulována a Aristotle dokonce sestavil seznam "správného uvažování". Historicky je běžné rozdělit všechny závěry na dva typy - od konkrétního k množnému (indukci) a naopak (odečtení). Je třeba poznamenat, že druhy důkazů od soukromého k obecnému a od obecného ke konkrétnímu existují pouze ve vztahu a nelze je používat zaměnitelně.

Indukce v matematice

Termín "indukce" má latinukořeny a je doslovně překládán jako "vedení". Při pečlivém studiu lze rozlišit strukturu slova, totiž latinský prefix - in- (označuje namířenou akci uvnitř nebo uvnitř) a -duction - úvod. Je třeba poznamenat, že existují dva typy - kompletní a neúplné indukce. Kompletní forma je charakterizována závěry ze studie o všech objektech určité třídy.

Neúplné - závěry se vztahují na všechny předměty třídy, ale vycházejí ze studie pouze několika jednotek.

Kompletní matematická indukce - inference,na základě obecného závěru o celé třídě jakýchkoli objektů, funkčně spojených vztahy přirozeného počtu čísel na základě znalosti tohoto funkčního spojení. Důkaz probíhá ve třech fázích:

• první potvrzuje správnost polohy matematické indukce. Příklad: f = 1, to je základ indukce;
• Další fáze vychází z předpokladu platnosti pozice pro všechna přirozená čísla. To znamená, že f = h, to je indukční hypotéza;
• třetí fáze dokazuje spravedlnostpozice pro číslo f = h + 1 na základě správnosti předchozího odstavce je indukční krok nebo krok matematické indukce. Příkladem je takzvaný princip "domino": jestliže první kost spadá do řady (základ), pak všechny kosti v řadě (přechod) padnou.

A pro zábavu a vážně

Pro jednoduchost vnímání jsou příklady řešení metodou matematické indukce vystaveny ve formě problémů vtipu. To je úkol "zdvořilého obratu":

• Pravidla chování zakazují muže obsaditotočte se před ženu (v této situaci je povoleno pokračovat). Vycházíme z tohoto prohlášení, jestliže poslední v řadě je muž, pak ostatní jsou muži.

Výrazným příkladem metody matematické indukce je problém "bezrozměrného letu":

• Musí se prokázat, že minibus je umístěnlibovolný počet lidí. Je pravda, že jedna osoba může být ubytována uvnitř dopravy bez jakýchkoliv potíží (základ). Ale bez ohledu na to, jak je minibus zaneprázdněný, vždy se do něj vejde jeden cestující (indukční krok).

Známé kruhy

Příklady řešení matematickou indukcí problémů a rovnic se často vyskytují. Jako ilustraci tohoto přístupu můžeme zvážit následující problém.

Stav: v rovině jsou h kruhy. Musí se prokázat, že pro jakékoliv uspořádání čísel může být karta, kterou tvoří, správně zabarvená dvěma barvami.

Řešení: Je-li h = 1, pravda výroku je zřejmé, tedy důkaz bude postaven na množství kruhů H + 1.

Předpokládáme, že prohlášení je spolehlivéjakoukoli mapu a na rovině uvedené h + 1 kruhy. Pokud odstraníte jeden z kruhů z celkového počtu, můžete se správně zbarvit dvěma barvami (černá a bílá).

Při obnovení smazaného kruhubarva každé oblasti je opakem (v tomto případě uvnitř kruhu). Získá se mapa, správně zbarvená dvěma barvami, která měla být prokázána.

Příklady s přirozenými čísly

Níže je jasně ukázáno použití metody matematické indukce.

Příklady řešení:

Dokažte, že u každé hodiny platí následující rovnost:

1²+2²+3²+ ... + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

Řešení:

1. Nechť h = 1, potom:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Z toho vyplývá, že pro h = 1 je tvrzení správné.

2. Za předpokladu, že h = d, získáme rovnici:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Za předpokladu, že h = d + 1, získáme:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+ D + 2) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Platí rovnost pro h = d + 1, proto je tvrzení pravdivé pro jakékoliv přirozené číslo, které je ukázáno v příkladu řešení matematickou indukcí.

Cíl

Stav: je nutné prokázat, že pro jakoukoliv hodnotu h je výraz 7^h-1 je dělitelný 6 bez zbytku.

Řešení:

1. Předpokládejme, že h = 1, v tomto případě:

R₁= 7¹-1 = 6 (tj. Dělí se 6 bez zbytku)

Proto pro h = 1 platí prohlášení;

2. Předpokládejme, že h = d a γ^d-1 je dělitelný 6 bez zbytku;

3. Důkazem platnosti tvrzení pro h = d + 1 je vzorec:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7,7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

V tomto případě je první termín rozdělen podle 6 podle předpokladu prvního bodu a druhý termín je rovný 6. Tvrzení, že 7^h-1 je dělitelná 6 bez zbytku pro nějaký přirozený h - je to pravda.

Chyba soudností

Často v nesprávně použitých důkazechdůvodů, kvůli nepřesnosti použitých logických konstrukcí. V zásadě se to stane, když je narušena struktura a logika důkazu. Jako příklad může sloužit příklad nesprávného odůvodnění.

Cíl

Stav: potřebujete důkaz, že žádná hromada kamení není hromada.

Řešení:

1. Předpokládejme, že h = 1, v tomto případě v kamenu 1 kámen a tvrzení je pravdivé (základ);

2. Předpokládejme, že pro h = d je pravda, že hromada kamení není hromada (předpoklad);

3. Nechť h = d + 1, což znamená, že když přidáme ještě jeden kámen, množina nebude hromadou. Závěr je takový, že předpoklad platí pro všechny přirozené h.

Chyba spočívá v tom, že neexistuje žádná definice toho, kolik kamene tvoří hromada. Takové vynechání se nazývá urychlená generalizace v metodě matematické indukce. Příklad, který jasně ukazuje.

Indukce a zákony logiky

Historicky příklady indukce a odpočtu vždy "chodí ruku v ruce". Takové vědecké disciplíny jako logika, filozofie je popisují ve formě protikladů.

Z hlediska logického práva v induktivnímdefinice se týkají spoléhání se na skutečnosti a pravdivost pozemků neurčuje správnost výsledného prohlášení. Závěry jsou často získávány s určitou pravděpodobností a hodnověrností, což samozřejmě musí být ověřeno a potvrzeno dalším výzkumem. Příklad indukce v logice může být prohlášení:

V Estonsku - sucho, v Lotyšsku - sucho, v Litvě - sucho.

Estonsko, Lotyšsko a Litva jsou baltské státy. Ve všech pobaltských státech je sucho.

Z příkladu můžeme usoudit, že nové informacenebo pravdu nelze získat indukcí. Všechno, na co lze počítat, je určitá pravdivost závěrů. Navíc pravdivost prostorů nezaručuje stejné závěry. Tato skutečnost však neznamená, že indukce vegetuje na okraji odpočtu: obrovský počet ustanovení a vědeckých zákonů je odůvodněn metodou indukce. Příkladem je stejná matematika, biologie a další vědy. To je většinou způsobeno úplnou indukcí, avšak v některých případech je také použitelná částečná.

Ctihodný věk indukce jí umožnil proniknout prakticky do všech sfér lidské činnosti - to jsou věda, ekonomika a každodenní závěry.

Indukce ve vědeckém prostředí

Metoda indukce vyžaduje důkladný postoj,protože příliš mnoho závisí na počtu studovaných údajů o celku: čím větší je studovaný počet, tím spolehlivější výsledek. Vycházejíc z této funkce se vědecké zákony získané indukcí dlouhodobě kontrolují na úrovni pravděpodobnostních předpokladů pro izolaci a studium všech možných konstrukčních prvků, vazeb a vlivů.

Ve vědě je založeno indukceVýrazné znaky, s výjimkou náhodných pozic. Tato skutečnost je důležitá v souvislosti se zvláštnostmi vědeckých poznatků. To je jasně vidět v příkladech indukce ve vědě.

Ve vědeckém světě existují dva typy indukce (v souvislosti s metodou studia):

1. indukční výběr (nebo výběr);
2. indukce je výjimkou (eliminace).

První typ se liší metodickým (scrupulous) výběrem vzorků třídy (podtříd) z různých oblastí.

Příkladem indukce tohoto druhu je následující: stříbro (nebo stříbrné soli) čistí vodu. Závěr vychází z dlouhodobých pozorování (druh výběru potvrzení a zamítnutí - výběr).

Druhý druh indukce je založen na závěrech,stanovení kauzálních vztahů a vyloučení okolností, které neodpovídají jeho vlastnostem, totiž univerzálnosti, dodržování časové posloupnosti, nutnosti a jednoznačnosti.

Indukce a odečtení z hlediska filozofie

Pokud se podíváte na historickou retrospektivu, paktermín "indukce" byl poprvé zmíněn Socrates. Aristotle popsal příklady indukce ve filozofii v přibližném terminologickém slovníku, ale otázka neúplné indukce zůstává otevřená. Po perzekuci aristotelovského syllogismu byla induktivní metoda uznána za plodná a jediná možná v přírodních vědách. Otec indukce jako samostatná zvláštní metoda je považován za Bacona, ale nedokázal oddělit, jak to vyžadují současníci, indukci od deduktivní metody.

Další vývoj indukce byl zapleten do J. Mill, který zvažoval indukční teorii z pohledu čtyř hlavních metod: souhlas, rozdíl, zbytky a odpovídající změny. Není překvapující, že k dnešnímu dni jsou tyto metody, pokud jsou podrobně zvažovány, deduktivní.

Poznání nekonzistence teorií Bacon a Millvedl vědce ke studiu pravděpodobnostních základů indukce. Nicméně i zde to nebylo bez extrémů: byly učiněny pokusy snížit indukci na teorii pravděpodobnosti se všemi následnými následky.

Hlasování důvěryhodnosti je dosaženo praktickýmpoužití v určitých oblastech a díky metrické přesnosti induktivní základny. Příkladem indukce a odečtení ve filozofii lze považovat zákon univerzální gravitace. V době objevu zákona se mu Newton podařilo ověřit to s přesností 4 procenty. Při kontrole po více než dvě stě letech byla správnost potvrzena v rozmezí 0,0001 procent, i když test byl proveden stejnými indukčními generalizací.

Moderní filozofie věnuje více pozornostidedukce, která je diktována logickou touhou odvodit z již známých nových znalostí (nebo pravdy), ne odkazovat na zkušenost, intuici a použití "čistého" uvažování. Pokud se odkazuje na pravdivé předpoklady deduktivní metody, ve všech případech je výstup pravdivým výrokem.

Tato velmi důležitá vlastnost by neměla býtk zatmění hodnoty indukční metody. Vzhledem k tomu, že indukce, založená na dosažených zkušenostech, se stává prostředkem jejího zpracování (včetně zobecnění a systematizace).

Indukce v ekonomice

Indukce a odpočet se již dlouho používají jako metody výzkumu ekonomiky a prognózy jejího vývoje.

Spektrum využití indukční metody je dostatečnécelkově: studie o implementaci předpovědních ukazatelů (zisky, odpisy apod.) a obecné posouzení stavu podniku; tvorba účinné politiky propagace podniku na základě faktů a jejich vzájemných vztahů.

Stejná metoda indukce se používá v tabulkách Shewhart, kde, za předpokladu oddělení procesů do řízených a nespravovaných procesů, se tvrdí, že rozsah řízeného procesu je neaktivní.

Je třeba poznamenat, že vědecké zákonyjsou ospravedlněny a potvrzeny metodou indukce a jelikož ekonomika je věda, která často používá matematickou analýzu, teorii rizik a statistické údaje, není překvapením přítomností indukce v seznamu základních metod.

Příkladem indukce a odečtu v ekonomice může býtslouží následující situaci. Zvýšení cen potravin (od spotřebního koše) a základních komodit tlačí spotřebitele k myšlence objevit se v nejdražších zemí (indukce). Nicméně z toho, že vysoké náklady na použití matematických metod lze odvodit tempo růstu cen u určitých přípravků nebo kategorií výrobků (odpočet).

Nejčastěji se odkazuje na způsob indukcevedoucí pracovníci, manažeři, ekonomové. Aby bylo možné s dostatečnou pravdivostí předpovídat vývoj podniku, tržní chování, účinky hospodářské soutěže, induktivní a deduktivní přístup k analýze a zpracování informací je nutný.

Dobrým příkladem indukce v ekonomice, odkazujícím na chybné soudy:

• zisk společnosti poklesl o 30%;
  konkurenční společnost rozšířila svou produktovou řadu;
  nic jiného se nezměnilo;
• výrobní politika konkurenční společnosti byla důvodem ke snížení zisku o 30%;
• proto je nutná stejná výrobní politika.

Příkladem je barevné ilustrace toho, jak neúspěšné použití indukční metody přispívá ke zkáze podniku.

Odpočet a indukce v psychologii

Vzhledem k tomu, že existuje metoda, pak logicky,probíhá správně organizované myšlení (použití metody). Psychologie jako věda, která studuje mentální procesy, jejich formování, vývoj, vzájemné propojení, interakce, věnuje pozornost "deduktivnímu" myšlení jako jedné z forem odpočtu a indukce. Bohužel na stránkách psychologie na internetu neexistuje prakticky žádné ospravedlnění integrity deduktivně induktivní metody. Ačkoli odborní psychologové jsou častěji konfrontováni s projevy indukce, nebo spíše s chybnými závěry.

Příklad indukce v psychologii, jako ilustracemylné rozsudky mohou být prohlášení: Má matka klamává, proto jsou všechny ženy lháři. Ještě více lze nalézt "chybné" příklady indukce ze života:

• student není schopen cokoli, pokud má matematiku dvojče;
• on je blázen;
• on je chytrý;
• Můžu dělat cokoli;

- a mnoho jiných hodnotících úsudků odvozených od naprosto náhodných a někdy i nevýznamných zpráv.

Je třeba si uvědomit, že když klauzule osobních soudů dosáhne bodu absurdity, objeví se přední strana práce pro psychoterapeuta. Jeden příklad indukce na specializované schůzce:

"Pacient je absolutně jistý, že barva je červenánese pro něj jen nebezpečí v každém projevu. Jako výsledek, člověk vyloučil daný barevný plán z jeho života - pokud možno. Doma máte spoustu příležitostí pro pohodlné bydlení. Můžete zrušit všechny červené objekty nebo je nahradit analogy vytvořenými v jiné barevné schémě. Ale na veřejných místech, v práci, v obchodě - je nemožné. Když se dostane do situace stresu, pacient pokaždé zažije "příliv" úplně jiných emočních stavů, které mohou být nebezpečné pro druhé. "

Tento příklad indukce, a nevědomě,"pevné nápady". Pokud se to stane duševně zdravému člověku, můžete mluvit o nedostatečné organizaci duševní činnosti. Prvotní vývoj deduktivního myšlení se může stát způsobem, jak se zbavit posedlých stavů. V ostatních případech pracují s takovými pacienty psychiatři.

Příklady vyvolání naznačují, že "ignorance zákona se nevylučuje z následků (chybných rozsudků)."

Psychologové, kteří pracují na tématu deduktivního myšlení, vypracovali seznam doporučení navržených tak, aby pomohli lidem zvládnout tuto metodu.

První položkou je řešení problémů. Jak vidíte, forma indukce, která se používá v matematice, může být považována za "klasickou" a použití této metody přispívá k "disciplíně" mysli.

Další podmínkou pro rozvoj deduktivního myšleníje rozšíření horizontu (kdo jasně myslí, jasně uvádí). Toto doporučení řídí "postižené" vědecké a informační útočiště (knihovny, internetové stránky, vzdělávací iniciativy, cestování atd.).

Přesnost je dalším doporučením. Koneckonců, z příkladů použití indukčních metod je zřejmé, že je to ona, která je v mnoha ohledech zárukou pravdivosti výroků.

Neprojížděli flexibilitu mysli, což znamenalo možnost použití různých způsobů a přístupů při řešení problému, stejně jako zohlednění variability událostí.

A samozřejmě pozorování, které je hlavním zdrojem hromadění empirických zkušeností.

Měli bychom také zmínit tzv"Psychologická indukce." Tento pojem, i když zřídka, lze nalézt na internetu. Všechny zdroje neposkytují alespoň stručnou formulaci definice tohoto výrazu, ale odkazují se na "příklady života", přičemž uvádějí návrh, některé formy duševní nemoci nebo extrémní stavy lidské psychie jako indukci. Ze všech výše uvedených skutečností je zřejmé, že pokus o odhalení "nového termínu", který se opírá o falešné (často neodpovídající skutečnosti) předpoklady, nenechává experimentátora přijmout chybné (nebo urychlené) prohlášení.

Je třeba poznamenat, že odkaz na experimenty1960 (bez uvedení místa konání, jména experimentátorů, vzorek předmětů a hlavně účel experimentu) vypadá, mírně, nepřesvědčivě, a tvrzení, že mozog vnímá informace, obchází všechny orgány vnímání (v tomto případě je by se hodilo více organicky), přiměje vás přemýšlet o věrohodnosti a nekritičnosti autora prohlášení.

Namísto závěru

Královna věd - matematika, ne nic, co využívá všechnymožné rezervy metody indukce a odečtení. Uvedené příklady umožňují dospět k závěru, že povrchní a nešikovné (bezvýznamné, jak se říká) použití nejpřesnějších a nejspolehlivějších metod vždy vede k chybným výsledkům.

V masovém vědomí je metoda dedukce spojena se slavným Sherlockem Holmesem, který ve svých logických konstrukcích často používá příklady indukce, pomocí odpočtu ve správných situacích.

Článek zkoumal příklady použití těchto metod v různých vědách a sférách lidské činnosti.